Ang serye sa Maclaurin ug ang pagkadunot sa pipila nga mga gimbuhaton

Kinahanglan mahibal-an sa estudyante sa mas taas nga matematika nga ang gidaghanon sa mga serye sa gahum nga nahilakip sa gilay-on nga pagtagbo sa gihatag nga serye usa ka lainlaing obra nga padayon ug walay katapusan nga daghang mga higayon. Ang pangutana nga mitungha: posible ba nga ipahayag nga ang usa ka gihatag nga arbitraryong function f (x) mao ang kantidad sa usa ka serye sa gahum? Nga mao, ubos sa unsa nga kondisyon nga ang f-th f (x) mahimong girepresentar sa serye sa gahum? Ang kahinungdanon sa mao nga pangutana mao nga kini posible nga halos mopuli sa f-x f (x) pinaagi sa pagsumada sa pipila ka unang mga termino sa serye sa gahum, nga mao, usa ka polinomyal. Ang ingon nga pagpuli sa usa ka function pinaagi sa usa ka yano nga pagpahayag-usa ka polynomial-masayon usab sa pagsulbad sa pipila ka mga suliran sa pag-usisa sa matematika, nga mao ang pagsulbad sa mga integral, pagkalkula sa differential equation, ug uban pa.

Gipamatud-an nga alang sa pipila ka mga function f (x), diin posible nga makalkulo ang mga gigikanan sa (n + 1) -pag-order, lakip ang katapusan nga usa, sa kasilinganan sa (α - R; X ₀ + R) sa pila ka punto x = α, ang mosunod nga pormula balido:

Kini nga porma nagdala sa ngalan sa iladong siyentipiko nga si Brooke Taylor. Ang serye nga nakuha gikan sa naunang usa gitawag nga Maclaurin series:

Usa ka lagda nga naghimo niini nga posible nga madunot ngadto sa serye sa Maclaurin:

1. Tinoa ang mga gigikanan sa una, ikaduha, ikatulo ... mga mando.
2. Tukma kung unsa ang mga gigikanan sa x = 0 katumbas sa.
3. I-rekord ang serye sa Maclaurin alang sa usa ka gimbuhaton, ug dayon tinoa ang kal-ang sa panagtigum niini.
4. Tinoa ang interval (-R; R), diin ang nahibilin sa formula sa Maclaurin

R _n (x) -> 0 as n → ∞ sa infinity. Sa kung diin kini naglungtad, ang function f (x) niini kinahanglan nga magtakdo sa kantidad sa serye sa Maclaurin.

Giisip nato karon ang serye sa Maclaurin alang sa tagsa-tagsa nga mga kalihokan.

Busa, ang una mao ang f (x) = e ^x . Siyempre, sa mga termino sa mga kinaiya niini, ang ingon nga katuyoan adunay mga gigikanan sa lainlain nga mga mando, ug f ^(k) (x) = e ^x , diin ang k sama sa tanan nga natural nga mga numero. Gipuli namon ang x = 0. Kita makakuha og f ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Pagdawat gikan sa nahisgutan, ang serye e ^x Ingon kini:

2. Ang Maclaurin series alang sa function f (x) = sin x. Gipaklaro dayon nato nga ang φ-function alang sa tanan nga wala mailhi adunay mga gigikanan, dugang pa, f ^' (x) = cos x = sin (x + n / 2), f ^{' '} (x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f ^(k) (x) = sala (x + k * n / 2), diin ang k sama sa bisan unsang natural nga numero. Nga mao, pinaagi sa paghimo sa yano nga kalkulasyon, kita makahinapos nga ang serye alang sa f (x) = sin x mahimong sa porma:

3. Karon sulayan nato ang paghunahuna sa function f (x) = cos x. Kini adunay mga gigikanan sa arbitraryong han-ay alang sa tanang wala mailhi, ug | f ^(k) (x) | = Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Pag-usab, paghimo sa pipila ka kalkulasyon, atong makuha nga ang serye alang sa f (x) = cos x susama niini:

Busa, among gilista ang labing importante nga mga gimbuhaton nga mahimong madunot ngadto sa serye sa Maclaurin, apan kini gisuportahan sa serye ni Taylor alang sa pipila ka mga gimbuhaton. Karon gilista namo sila. Angay usab matikdan nga ang serye ni Taylor ug Maclaurin usa ka importante nga bahin sa workshop sa pagsulbad sa serye sa mas taas nga matematika. Busa, ang serye sa Taylor.

1. Ang una mao ang serye alang sa function f (x) = ln (1 + x). Sama sa nangaging mga pananglitan, alang sa gihatag nga f (x) = ln (1 + x) makadugang kita sa usa ka serye gamit ang kinatibuk-an nga matang sa serye sa Maclaurin. Hinoon, alang niini nga katuyoan ang Maclaurin nga serye mahimo nga mas simple. Pagsagol sa pipila ka mga geometric series, kita makakuha og usa ka serye alang sa f (x) = ln (1 + x) sa maong sample:

2. Ug ang ikaduha, nga mao ang katapusan sa atong papel, mahimong serye alang sa f (x) = arctg x. Alang sa x nga sakop sa interval [-1; 1], ang pagpalapad balido:

Kana tanan. Niini nga artikulo, ang labing gigamit nga serye sa Taylor ug Maclaurin sa mas taas nga matematika, ilabi na sa mga unibersidad sa ekonomiya ug teknikal, giisip.