Linear ug pare-pareho differential talaid sa unang han-ay. mga panig-ingnan sa mga solusyon

akong hunahuna kita kinahanglan nga magsugod uban sa mga kasaysayan sa mga mahimayaon sa matematika himan sama sa differential pagbalanse. Sama sa tanan nga mga differential ug integral calculus, kini nga mga pagbalanse mga minugna sa Newton sa ulahing bahin sa ika-17 nga siglo. Siya nagtuo nga kini mao ang iyang nadiskobrehan mao nga importante nga bisan ang encrypted nga mensahe, nga karon mahimong gihubad ingon sa mosunod: ". Ang tanang mga balaod sa kinaiyahan nga gihulagway pinaagi sa differential pagbalanse" Kini daw usa ka pagpasobra, apan kini tinuod. Sa bisan unsa nga balaod sa pisika, chemistry, biology, mahimong gihulagway sa kini nga mga pagbalanse.

Usa ka dakong kontribusyon sa pagpalambo ug sa paglalang sa teoriya sa differential pagbalanse adunay matematika sa Euler ug Lagrange. Na sa ika-18 nga siglo nga ilang nadiskobrehan ug naugmad unsa ang karon sa pagtuon sa senior unibersidad kurso.

Usa ka bag-o nga hitabo sa pagtuon sa differential pagbalanse misugod pasalamat sa Anri Puankare. Siya gibuhat sa usa ka "qualitative teoriya sa differential pagbalanse", nga, inubanan sa mga teoriya sa mga gimbuhaton sa complex baryable amot kamahinungdanon ngadto sa mga patukoranan sa topolohiya - sa siyensiya sa luna ug mga kabtangan niini.

Unsa ang differential pagbalanse?

Daghang mga tawo ang mahadlok sa hugpong sa mga pulong "differential talaid". Apan, sa niini nga artikulo kita ibutang sa detalye ang diwa niini nga mapuslanon kaayo sa matematika nga himan nga mao ang sa pagkatinuod dili sama sa komplikado ingon nga kini daw gikan sa titulo. Aron sa pagsugod sa paghisgot mahitungod sa usa ka una nga-order differential talaid, kamo kinahanglan gayud nga una masinati uban sa mga nag-unang mga konsepto nga tiunay nakig-uban sa kahulugan niini. Ug kita magsugod sa differential.

differential

Daghang mga tawo ang nasayud niini nga termino sukad sa high school. Apan, sa gihapon magapuyo sa ibabaw niini diha sa detalye. Handurawa ang graph sa function. Kita sa pagdugang niini ngadto sa maong usa ka gidak-on nga sa bisan unsa sa iyang mga bahin mahimo nga usa ka tul-id nga linya. kini pagkuha sa duha ka puntos nga mas suod sa usag usa. Ang kalainan tali sa ilang mga coordinates (x o y) mao ang labihan. Ug kini mao ang gitawag nga differential ug mga karakter nagtumong sa dy (differential sa y) ug DX (ang differential sa x). Kini mao ang importante nga makasabut nga ang differential dili mao ang katapusang bili, ug kini mao ang kahulogan ug ang nag-unang function.

Ug karon kamo kinahanglan gayud nga hunahunaa ang mosunod nga mga elemento, nga kita kinahanglan nga ipatin-aw sa differential talaid nga konsepto. Kini - sa gikopya nga.

gikopya nga

Ang tanan kanato kinahanglan gayud nga nakadungog sa eskwelahan ug kini ideya. Sila nag-ingon nga ang gikopya nga - mao ang rate sa pagtubo o pagkunhod sa sa function. Apan, kahulugan niini nga mahimong mas makalibog. Atong mosulay sa pagpatin-aw sa gikopya nga mga termino sa mga differentials. Himoa ni mobalik ngadto sa labihan sal function uban sa duha ka puntos, nga nahimutang sa usa ka minimum nga gilay-on gikan sa usag usa. Apan bisan sa unahan niini nga gilay-on function mao ang panahon sa pag-usab sa pipila ka bili. Ug sa paghulagway nga ang kausaban ug moabut sa uban sa usa ka sa gikopya nga nga kon dili nga gisulat ingon nga ang ratio sa mga differentials: f (x) '= DF / DX.

Karon kini mao ang gikinahanglan sa paghunahuna sa sukaranan nga mga kabtangan sa mga sa gikopya nga. Adunay tulo lamang:

1. Gikopya nga kantidad o ang kalainan mahimong girepresentahan ingon nga ang mga kantidad o kalainan sa mga naggumikan: (sa usa ka + b) '= usa ka' + b ', ug (usa)' = a'-b '.
2. Ang ikaduha nga kabtangan konektado sa pagpadaghan. Gikopya nga mga buhat - ang gidaghanon sa mga buhat sa usa ka function sa usa sa gikopya nga: (sa usa ka * b) '= usa ka' b + usa ka * b.
3. Ang pulong nga naggikan sa mga kalainan mahimong gisulat ingon nga ang mga mosunod nga talaid: (sa usa ka / b) '= (sa usa ka' * ba * b ') / b ^2.

Kining tanan nga mga bahin moabut sa handy alang sa pagpangita og mga solusyon sa differential pagbalanse sa unang han-ay.

Usab, adunay mga partial naggumikan. Pananglitan kita adunay usa ka function sa z, nga nag-agad sa mga baryable x ug y. Sa pagkalkulo sa partial nga naggikan sa niini nga function, alang sa panig-ingnan, sa x, kita kinahanglan sa pagkuha sa baryable y alang sa kanunay ug sayon nga kalainan.

integral

Ang laing importante nga konsepto - integral. Sa pagkatinuod kini mao ang kaatbang sa gikopya nga. Integrals pipila ka mga matang, apan ang yano nga solusyon sa differential mga pagbalanse, kita kinahanglan sa labing gamay walay tino integrals.

Busa, unsa ang integral? Ang ni-ingon nga kita ang pipila relasyon f sa x. Kita gikan niini ang integral ug makabaton sa usa ka function F (x) (kini sa kanunay nagtumong sa usa ka karaang), nga mao ang usa ka pulong nga naggikan sa mga orihinal nga function. Busa F (x) '= f (x). Kini usab nagpasabot nga ang integral sa gikopya nga mao nga sama sa orihinal nga function.

Sa pagsulbad sa differential pagbalanse kini mao ang importante kaayo nga masabtan ang kahulogan ug function sa integral, kay kaayo nga sa kanunay adunay sa pagkuha kanila sa pagpangita sa mga solusyon.

Ang pagbalanse mga lain-laing depende sa ilang kinaiyahan. Sa sunod nga seksyon atong tan-awon sa mga matang sa unang order differential mga pagbalanse, ug unya makakat-on kon sa unsang paagi sa pagsulbad kanila.

Mga klase sa differential pagbalanse

"Diffury" gibahin sa han-ay sa mga naggumikan nga nalambigit diha kanila. Mao kini ang adunay usa ka una, ikaduha, ikatulo o labaw pa order. mahimo usab sila nga bahinon ngadto sa pipila ka mga klase: ordinaryo ug partial.

Sa niini nga artikulo, atong hisgotan ang mga ordinaryo nga differential pagbalanse sa unang han-ay. Mga panig-ingnan ug mga solusyon sa paghisgot kita sa mosunod nga mga seksyon. atong hisgotan lamang sa Tac tungod kay kini mao ang labing komon nga matang sa mga pagbalanse. Ordinaryo nga gibahin ngadto sa matang: uban separable baryable, pare-pareho ug heterogeneous. Sunod kamo makakat-on kon sa unsang paagi sila lahi gikan sa usag usa, ug pagkat-on kon sa unsang paagi sa pagsulbad kanila.

Dugang pa, kini nga mga pagbalanse nga inubanan, aron nga human nato og usa ka sistema sa differential pagbalanse sa unang han-ay. Ang maong mga sistema sa, kita usab motan-aw sa ug makakat-on kon sa unsang paagi sa pagsulbad.

Nganong kita naghunahuna sa lamang sa unang han-ay? Tungod kay kini mao ang gikinahanglan nga sa pagsugod uban sa usa ka yano ug paghulagway sa tanan nga nakig-uban sa differential mga pagbalanse, sa usa lang ka artikulo nga kini mao ang imposible.

Pagbalanse sa separable baryable

Kini mao tingali ang labing yano nga unang order differential pagbalanse. Kini mao ang mga panig-ingnan nga mahimong gisulat ingon nga: y '= f (x) * f (y). Aron sa pagsulbad niini nga talaid nga atong gikinahanglan sa representasyon pormula sa gikopya nga ingon sa ratio sa mga differentials: y '= dy / DX. Uban niini kita makaangkon sa talaid: dy / DX = f (x) * f (y). Karon nga kita mobalik ngadto sa pamaagi sa pagsulbad sa sumbanan nga mga ehemplo: sa pagbulag sa mga baryable sa mga bahin, ie pagpuasa sa unahan sa tanan nga mga baryable y sa bahin diin adunay dy, ug usab sa paghimo sa mga baryable x ... Kita makabaton og usa ka equation sa porma: dy / f (y) = f (x) DX, nga makab-ot pinaagi sa mga integrals sa duha ka bahin. Ayaw kalimti ang mahitungod sa mga kanunay nga imong gusto nga ibutang human sa integration.

Ang solusyon sa bisan unsa nga "diffura" - mao ang usa ka function sa x pinaagi sa y (sa atong kaso), o kon adunay usa ka gidaghanon nga kahimtang, ang tubag mao ang usa ka gidaghanon. Atong susihon ang usa ka konkreto nga ehemplo sa tibuok ginsakpan sa desisyon:

y '= 2y * sala (x)

Pagbalhin sa mga baryable sa lain-laing mga direksyon:

dy / y = 2 * sala (x) DX

Karon sa pagkuha sa mga integrals. Ang tanan kanila mahimong makita diha sa usa ka espesyal nga lamesa sa integrals. Ug kita:

LN (y) = -2 * cos (x) + C

Kon gikinahanglan, kita pagpahayag sa "y" nga ingon sa usa ka function sa "X". Karon makaingon kita nga ang atong differential talaid nga masulbad, kon dili bungat nga kahimtang. Mahimo nga bungat nga kahimtang, alang sa panig-ingnan, y (n / 2) = e. Unya kita lamang ipuli sa bili niini nga mga baryable sa desisyon ug sa pagpangita sa bili sa kanunay. Sa atong panig-ingnan, kini mao ang 1.

Pare-pareho unang order differential pagbalanse

Karon sa sa sa mas komplikado nga mga bahin. Pare-pareho unang order differential pagbalanse mahimong gisulat sa kinatibuk-ang nga porma ingon: y '= z (x, y). Kini kinahanglan nga nakita nga ang mga matarung nga function sa duha ka baryable mao ang uniporme, ug dili kini mahimong bahinon ngadto sa duha ka depende sa: z x ug z sa y. Check kon sa talaid mao ang pare-pareho o dili, mao na mga walay-pagtagad: kita sa paghimo sa pagpuli x = k * x ug y = k * y. Karon kami putlon ang tanan k. Kon kini nga mga sulat nagpatulo, nan, ang talaid pare-pareho ug luwas nga mopadayon sa iyang solusyon. Magtan-aw sa unahan, kita moingon: sa baruganan sa mga solusyon niini nga mga panig-ingnan mao usab kaayo mga walay-pagtagad.

Kita kinahanglan sa paghimo sa pagpuli: y = t (x) * x, diin t - sa usa ka function nga usab nag-agad sa x. Dayon kita pagpahayag sa gikopya nga: y '= t' (x) * x + t. Kapuli sa tanan niini ngadto sa atong mga orihinal nga talaid ug pagpayano niini, kita adunay panig-ingnan sa panagbulag sa baryable t sama sa x. Pagsulbad niini ug sa pagkuha sa pagsalig sa t (x). Kon kita na kini, lamang mopuli sa atong miaging ilis y = t (x) * x. Unya kita makabaton sa pagsalig sa y sa x.

Aron sa paghimo niini nga mas klaro, kita makasabut sa usa ka panig-ingnan: x * y '= yx * e y / x.

Sa diha nga ang pagsusi sa mga puli sa tanan nga declining. Busa, sa talaid mao ang tinuod nga pare-pareho. Karon sa paghimo sa laing pagpuli, naghisgot kami mahitungod sa: y = t (x) * x ug y '= t' (x) * x + t (x). Human sa simplification sa mosunod nga talaid: t '(x) * x = -e t. kita mohukom sa pagkuha sa usa ka sample sa gilain nga baryable ug ^{kita: e -t = LN (C *} x). Kita lang kinahanglan sa pag-ilis t pinaagi sa y / x (tungod kay kon y = t * x, nan t = y / x), ug kita sa ^{tubag: e -y / x = LN (} x * C).

Linear differential talaid sa unang order

Kini panahon sa paghunahuna sa laing halapad nga hilisgutan. Kita motan-aw heterogeneous unang-order differential pagbalanse. Unsa nga paagi nga sila lahi gikan sa miaging duha ka? Atong-atubang niini. Linear unang order differential pagbalanse sa kinatibuk-ang dagway sa talaid mahimong gisulat ang ingon niini: y '+ g (x) * y = z (x). Kini kinahanglan nga giklaro nga z (x) ug g (x) mahimong kanunay nga mga prinsipyo.

Ania ang usa ka panig-ingnan: y '- y * x = x ^2.

Adunay duha ka paagi sa pagsulbad, ug order kita Atong susihon silang duha. Ang unang - sa pamaagi sa kalainan sa arbitraryong mabag.

Aron sa pagsulbad sa talaid sa niini nga paagi, kini mao ang gikinahanglan nga katumbas sa sa unang too nga-kamot nga kiliran ngadto sa zero, ug pagsulbad sa mga resulta sa talaid nga human sa pagbalhin sa mga bahin mahimo:

y '= y * x;

dy / DX = y * x;

dy / y = xdx;

LN | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = P ₁ * e ^{x2 / 2.}

Karon kini mao ang gikinahanglan sa pag-ilis sa kanunay nga P ₁ sa function v (x), nga kita makakaplag.

y = v * e ^{x2 / 2.}

-Drawing sa usa ka puli sa gikopya nga:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Ug sa pagpuli niini nga mga mga ekspresyon sa orihinal nga talaid:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Mahimo tan-awa nga sa wala nga kiliran sa duha ka mga termino pagkunhod. Kon sa pipila ka mga panig-ingnan nga wala mahitabo, nan ang imong gibuhat sa usa ka butang nga sayop. Kita nagpadayon sa:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Karon kita pagsulbad ang naandan nga talaid sa nga imong gusto aron sa pagbulag sa baryable:

DV / DX = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- x2 / 2} DX.

Sa pagtangtang sa integral, kita adunay sa paggamit sa mga integration sa mga bahin dinhi. Apan, kini dili mao ang hilisgutan sa niini nga artikulo. Kon ikaw interesado, mahimo ikaw makakat-on sa ilang kaugalingon sa pagtuman sa maong mga buhat. Kini mao ang dili lisud nga, ug uban sa igo nga kahanas ug pag-atiman dili nga nagaut-ut sa panahon.

Naghisgot sa mga ikaduha nga pamaagi sa solusyon sa mga inhomogeneous pagbalanse: Bernoulli pamaagi. Unsa nga paagi mao ang mas paspas ug mas sayon - kini sa kaninyo.

Busa, sa diha nga pagsulbad niini nga pamaagi, kita kinahanglan sa paghimo sa pagpuli: y = k * n. Dinhi, k ug n - sa pipila ka mga gimbuhaton depende sa x. Unya ang gikopya nga motan-aw sama sa: y '= k' * n + k * n '. Puli sa duha ka ilis sa talaid:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group sa:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Karon kini mao ang gikinahanglan nga sa unyang dalan sa zero, nga anaa sa mga parentesis. Karon, kon combine kamo ang duha ka mga pagbalanse, makabaton kita sa usa ka sistema sa unang order differential mga pagbalanse nga masulbad:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Ang unang pagkasama modesisyon kon sa unsang paagi nga ang naandan nga talaid. Sa pagbuhat niini, ikaw kinahanglan aron sa pagbulag sa baryable:

Dn / DX = x * v;

Dn / n = xdx.

Kita ang mga mahinungdanon nga ug makabaton kita: LN (n) = x ^2/2. Dayon, kon atong ipahayag n:

n = e ^{x2 / 2.}

Karon ipuli ang mga resulta talaid sa ikaduhang talaid:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ug sa pag-usab sa, kita makabaton sa sama nga talaid sama sa unang pamaagi:

DK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Kita usab dili maghisgot sa dugang nga aksyon. Kini nag-ingon nga sa unang unang-order differential pagbalanse solusyon hinungdan sa dakong mga kalisdanan. Apan, ang usa ka mas lawom nga pagpaunlod diha sa hilisgutan mao ang sugod sa pagkuha mas maayo ug mas maayo.

Hain differential pagbalanse?

Kaayo aktibo nga differential mga pagbalanse nga gigamit sa pisika, sama sa halos sa tanan nga mga nag-unang mga balaod nahisulat diha sa differential nga porma, ug ang mga pormula, nga atong makita - ang usa ka solusyon sa kini nga mga pagbalanse. Sa chemistry, sila gigamit alang sa mao gihapon nga rason: ang nag-unang mga balaod nga nakuha pinaagi kanila. Sa Biology, ang differential pagbalanse gigamit sa sundon sa kinaiya sa sistema sa, sama sa manunukob - tukbonon. Sila mahimo usab nga gigamit sa paghimo modelo sa hulad, kopya, alang sa panig-ingnan, mga kolonya sa mga mikroorganismo.

Ingon sa differential pagbalanse makatabang sa kinabuhi?

Ang tubag niini nga pangutana mao ang yano nga: walay bisan unsa nga. Kon ikaw dili usa ka siyentista o engineer, kini mao ang dili tingali nga sila mahimong mapuslanon. Apan, dili-among-among sa masayud kon unsa ang differential talaid ug kini masulbad alang sa kinatibuk-ang kalamboan. Ug unya ang pangutana sa usa ka anak nga lalaki o anak nga babaye, "unsa ang usa ka differential talaid?" ayaw kamo diha sa usa ka patay nga katapusan. Aw, kon ikaw usa ka siyentista o engineer, nan kamo masayud sa kamahinungdanon sa hilisgutan niini nga sa bisan unsa nga siyensiya. Apan ang labing importante, nga karon sa pangutana "unsaon sa pagsulbad sa differential talaid sa unang order?" nga kamo sa kanunay makahimo sa paghatag sa usa ka tubag. Mouyon, kini mao ang kanunay nga nindot sa diha nga makaamgo ka nga unsa nga katawohan bisan sa kahadlok sa pagpangita sa.

Ang nag-unang mga problema sa pagtuon

Ang nag-unang problema sa pagsabot sa hilisgutan niini nga mao ang usa ka dili maayo nga kinaiya sa integration ug sa panagbahin gimbuhaton. Kon ikaw dili komportable maghunahuna naggumikan ug integrals, kini mao ang lagmit nga bili labaw pa sa pagkat-on, sa pagkat-on sa lain-laing mga pamaagi sa integration ug sa panagbahin, ug lamang unya mopadayon sa sa pagtuon sa mga materyal nga nga gihulagway sa artikulo.

Ang ubang mga tawo ang matingala sa pagkahibalo nga ang DX mahimong ibalhin, ingon sa kaniadto (sa eskwelahan) Matod nga ang tipik dy / DX mao mabahin. Unya kinahanglan nga mobasa sa mga literatura sa gikopya nga ug makasabut nga kini mao ang kinaiya sa mas gagmay nga mga natapok, nga mahimo nga gimaniobra sa pagsulbad sa mga pagbalanse.

Daghang mga tawo ang dili dayon makaamgo nga ang solusyon sa differential pagbalanse sa unang han-ay - kini mao ang kanunay nga ang usa ka function o neberuschiysya integral, ug kini limbong naghatag kanila sa usa ka daghan sa kasamok.

Unsa pa mahimong gitun-an sa mas maayo nga makasabut?

Kini mao ang labing maayo sa pagsugod sa dugang pagpaunlod ngadto sa kalibutan sa differential calculus sa espesyalista libro, alang sa panig-ingnan, sa matematika analysis alang sa mga estudyante sa mga non-matematika specialties. unya ang imong mahimo mobalhin ngadto sa mas espesyalista literatura.

Kini nag-ingon nga, sa dugang sa differential, adunay mga pa integral mga pagbalanse, mao nga kamo sa kanunay adunay usa ka butang nga maningkamot alang sa ug unsa ang sa pagtuon.

konklusyon

Kami naglaum nga sa human sa pagbasa niini nga artikulo kamo adunay usa ka ideya sa kon unsa ang differential pagbalanse ug sa unsa nga paagi sa pagsulbad kanila sa husto nga paagi.

Sa bisan unsa nga kaso, matematika sa bisan unsang paagi mapuslanon kanato sa kinabuhi. Kini og katarungan ug pagtagad, nga walay nga sa tagsatagsa ka tawo, ingon nga walay mga kamot.