Usa ka sistema sa linear algebraic pagbalanse. Pare-pareho nga sistema sa linear algebraic pagbalanse

Sa eskwelahan, ang matag usa kanato nagtuon sa talaid ug, sa pagkatinuod, sa sistema sa mga pagbalanse. Apan dili daghang mga tawo nga mahibalo nga adunay mga pipila ka mga paagi sa pagsulbad kanila. Karon atong makita gayud sa tanan nga mga pamaagi alang sa pagsulbad sa usa ka sistema sa linear algebraic mga pagbalanse, nga gilangkuban sa labaw pa kay sa duha ka mga pagbalanse.

istorya

Karon kita nahibalo nga ang arte sa pagsulbad pagbalanse ug sa ilang mga sistema sa naggikan sa karaang Babilonya ug Ehipto. Apan, patas sa ilang pamilyar nga porma nagpakita kanato human sa mga panghitabo sa mga patas nga ilhanan "=", nga gipaila-ila sa 1556 pinaagi sa Iningles nga matematisyan nga rekord. Pinaagi sa dalan, kini nga simbolo nga gipili alang sa usa ka rason: nagpasabot kini sa duha ka susama sa managsama nga mga bahin. Sa pagkatinuod, ang labing maayo nga panig-ingnan sa pagkasama dili sa.

Ang magtutukod sa modernong letra ug mga simbolo sa wala mailhi nga gidak-on, ang mga Pranses matematiko Fransua Việt. Apan, ang iyang ngalan nga mao ang kamahinungdanon sa lain-laing gikan sa karon. Pananglitan, ang usa ka square sa usa ka wala mailhi nga gidaghanon siya gitudlo sa sulat Q (Lat "quadratus".), Ug ang cube - (. Lat "cubus") ang sulat C. Kini nga mga simbolo karon daw dili komportable, apan unya kini mao ang labing intuitive nga paagi sa pagsulat sa usa ka sistema sa linear algebraic pagbalanse.

Apan, usa ka Disbentaha sa nagaluntad nga mga pamaagi sa solusyon mao nga matematiko ang giisip lamang sa mga positibo nga mga gamot. Tingali kini tungod sa kamatuoran nga ang negatibo nga mga hiyas dili sa bisan unsa nga praktikal nga aplikasyon. Sa usa ka paagi o sa lain, apan ang una nga giisip nga negatibo nga mga gamot nagsugod human sa Italyano matematika Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano ug Raphael Bombelli sa ika-16 nga siglo. Usa ka modernong-aw, ang mga nag-unang pamaagi sa pagsulbad sa quadratic pagbalanse (pinaagi sa discriminant) natukod lamang sa ika-17 nga siglo pinaagi sa mga buhat sa Descartes ug Newton.

Sa tunga-tunga sa ika-18 nga siglo nga Swiss matematiko nga si Gabriel Cramer nakakaplag sa usa ka bag-o nga paagi sa paghimo sa solusyon sa mga sistema sa linear pagbalanse mas sayon. Kini nga pamaagi sa ulahi nga ginganlan sunod kaniya, ug sa niining adlawa kita mogamit niini. Apan sa pamaagi sa pakigpulong ni Kramer sa usa ka gamay nga sa ulahi, apan alang sa karon atong hisgotan ang linear pagbalanse ug sa ilang mga solusyon nga gilain gikan sa sistema sa.

linear pagbalanse

Linear pagbalanse - ang simplest talaid sa baryable (s). Sila iya sa algebra. Linear pagbalanse nahisulat diha sa kinatibuk-ang porma sama sa mosunod: usa ka ₁ * x ₁ + usa ka _{2 *} x ₂ + ... ug _n * x _n = b. Pagpasakop sa niini nga matang kita gikinahanglan sa pag-andam sa mga sistema ug matrices sa.

Usa ka sistema sa linear algebraic pagbalanse

Ang kahulugan sa niini nga termino mao ang: ang usa ka hugpong sa mga pagbalanse nga adunay komon nga mga unknowns ug sa kinatibuk-ang solusyon. Kasagaran, sa eskwelahan sa tanan nga masulbad sa usa ka sistema sa duha ka o bisan sa tulo ka mga pagbalanse. Apan adunay mga sistema sa uban sa upat ka o labaw pa nga sangkap. ni makakita una kon unsaon sa pagsulat kanila sa ingon nga sa ulahi nga kini sayon sa pagsulbad sa Himoa. Una, ang sistema sa linear algebraic pagbalanse ang mas maayo nga tan-awon kon ang tanan nga mga baryable gisulat ingon nga x sa katugbang nga index: 1,2,3 ug sa ingon sa. Ikaduha, kinahanglan nga kini modala sa tanan nga mga pagbalanse sa kanonikal nga porma: ang usa ka ₁ * x ₁ + usa ka _{2 *} x ₂ + ... ug _n * x _n = b.

Human sa tanan nga kini nga mga lakang, kita magsugod sa pagsulti kaninyo kon sa unsang paagi sa pagpangita sa solusyon sa mga sistema sa mga linear pagbalanse. Kaayo nga moabut sa handy matrix.

taguangkan

Matrix - sa usa ka lamesa nga naglangkob sa mga talay, ug mga haligi, ug ang mga elemento niini sa ilang intersection. Kini mahimo nga bisan ang usa ka piho nga bili o baryable. Sa kadaghanan sa mga kaso, aron sa pagpaila sa mga elemento nga gihan-ay sa ilalum sa mga subscripts (pananglitan, usa ka ₁₁ o ₂₃ man). Ang unang index nagpakita sa gidaghanon sa laray, ug ang ikaduha - sa kolum. Labaw sa matrices ingon sa ibabaw ug sa bisan unsa nga lain nga mga matematika elemento makahimo sa nagkalain-laing mga operasyon. Busa, mahimo mo:

1) kúhà ug makadugang sa sama nga gidak-on sa lamesa.

2) magpadaghan sa taguangkan sa bisan unsa nga gidaghanon o sa vector.

3) Transpose: pagbag-o sa matrix linya sa mga haligi, ug ang mga haligi - sa linya.

4) magpadaghan sa taguangkan, kon ang gidaghanon sa mga laray nga mao ang katumbas sa usa kanila sa usa ka lain-laing mga gidaghanon sa mga haligi.

Sa paghisgot sa detalye sa tanan niini nga mga teknik, ingon nga sila mao mapuslanon kanato sa umaabot. Pagkuha ug Dugang pa sa matrices mao ang kaayo mga walay-pagtagad. Tungod kay kita sa sama nga gidak-on matrix, ang matag elemento sa usa ka lamesa mao ang may kalabutan sa tanan nga uban nga elemento. Mao kini ang atong makadugang (kuhaan) ang duha ka niini nga mga elemento (kini mao ang importante nga sila nanagtindog sa ibabaw sa mao nga yuta sa ilang mga matrices). Sa diha nga gipadaghan sa gidaghanon sa mga taguangkan o vector kaninyo lamang padaghanon ang matag elemento sa sa taguangkan sa nga gidaghanon (o vector). Pagbalhin - sa usa ka makapaikag kaayo nga proseso. Very makapaikag usahay sa pagtan-aw kaniya diha sa tinuod nga kinabuhi, alang sa panig-ingnan, sa diha nga sa pag-usab sa orientation sa usa ka papan o sa telepono. Ang mga imahen sa desktop mao ang usa ka taguangkan; ug uban sa usa ka kausaban sa posisyon, kini pulihan ug mahimong mas lapad, apan pagminus, mga pagmobu sa gitas-on.

Atong susihon sa dugang usa ka proseso sama sa taguangkan pagpadaghan. Bisan tuod siya miingon kanato, ug dili mapuslanon, apan nahibalo nga kini mao ang mapuslanon pa. Modaghan ang duha ka matrices mahimong lamang ubos sa kondisyon nga ang gidaghanon sa mga haligi sa usa ka lamesa mao nga sama sa gidaghanon sa mga laray nga gihulma sa ubang mga. Karon sa pagkuha sa mga elemento sa usa ka taguangkan linya ug uban pang mga elemento sa katugbang nga kolum. Padaghanon ko sila sa usag-usa ug unya kantidad (pananglitan, alang sa panig-ingnan, usa ka produkto sa mga elemento ₁₁ ug ₁₂ ug sa ₁₂ b ug ₂₂ b mahimong katumbas sa: sa usa ka * b _{11 12} + ₁₂ * b ug _22). Mao kini ang, sa usa ka lamesa nga butang, ug ang usa ka pamaagi nga susama sa kini napuno sa dugang pa.

Karon nga kita magsugod sa paghunahuna sa unsa nga paagi sa pagsulbad sa mga sistema sa linear pagbalanse.

Gauss

Kini nga tema misugod sa pagkuha sa dapit sa eskwelahan. kita nasayud kaayo sa mga konsepto sa "sistema sa duha ka linear pagbalanse" ug mahibalo kon unsaon sa pagsulbad kanila. Apan unsa kon ang gidaghanon sa mga pagbalanse mao ang mas dako pa kay sa duha ka? Kini makatabang kanato Gauss pamaagi.

Siyempre, kini nga pamaagi mao ang sayon nga gamiton, kon ang usa ka taguangkan sa sa sistema. Apan dili kamo makahimo sa kinabig niini ug modesisyon sa iyang kaugalingon.

Busa, sa unsa nga paagi sa pagsulbad niini pinaagi sa usa ka sistema sa linear pagbalanse Gauss? Pinaagi sa dalan, bisan pa niini nga pamaagi ug ginganlan sunod kaniya, apan nadiskobrehan kini sa karaang mga panahon. Gauss adunay usa ka operasyon nga gidala sa gawas uban sa mga pagbalanse, sa ngadto-ngadto moresulta sa sa kinatibok sa inandana nga porma. Nga mao, nga kamo kinahanglan nga top-sa (kon husto ibutang) gikan sa una ngadto sa katapusan talaid ugdaw sa usa ka wala mailhi. Sa laing mga pulong, kita kinahanglan aron sa pagsiguro nga na kita, ingon, sa tulo ka mga pagbalanse: sa unang - tulo ka mga unknowns, sa ikaduha - duha ka sa ikatolo - usa. Unya, gikan sa katapusan nga pagtumbas, atong makita ang unang wala mailhi, mopuli sa bili niini sa mga ikaduha o sa unang talaid, ug dugang pa nga sa pagpangita sa nahibiling duha ka baryable.

pagmando ni Cramer

Kay ang kalamboan sa niini nga paagi mao ang importante sa pag-master sa mga kahanas sa Dugang pa, pagkuha sa mga matrices, ingon man ang panginahanglan nga makahimo sa pagpangita sa mga nagtapat. Busa, kon kamo dili komportable sa pagbuhat niini sa tanan o wala masayud kon sa unsang paagi, kini mao ang gikinahanglan sa pagkat-on ug bansayon.

Unsa ang diwa sa niini nga paagi, ug sa unsa nga paagi sa pagbuhat sa ingon, aron sa pagkuha sa usa ka sistema sa linear pagbalanse Cramer? Kini kaayo mga walay-pagtagad. Kita kinahanglan nga sa pagtukod sa usa taguangkan sa mga numero (halos kanunay) sa mga coefficients sa usa ka sistema sa linear algebraic pagbalanse. Sa pagbuhat niini, lamang sa pagkuha sa gidaghanon sa mga wala hiilhi, ug kita arrange sa usa ka lamesa sa aron nga sila nasulat sa sistema sa. Kon wala pa ang gidaghanon mao ang usa ka timaan sa "-", nan kita pagsulat negatibo nga coefficient. Busa, atong gihimo ang unang matrix sa mga coefficients sa wala mahibaloi, wala lakip na ang gidaghanon sa human sa managsama nga ilhanan (siyempre, nga ang talaid adunay nga pagkunhod sa kanonikal nga porma sa diha nga ang matarung nga mao lang ang usa ka gidaghanon, ug sa wala - sa tanan nga mga unknowns sa coefficients). Unya kamo kinahanglan nga sa paghimo sa usa ka pipila ka matrices - usa alang sa matag baryable. Tungod niini nga katuyoan, sa unang matrix gipulihan sa usa ka kolum ang matag numero kolum uban sa mga coefficients human sa managsama nga ilhanan. Mao kini ang atong pagkuha sa usa ka pipila ka mga matrices ug unya makakaplag sa ilang mga nagtapat.

Human sa among hingkaplagan sa mga qualifiers, kini gamay. Kita adunay usa ka inisyal nga taguangkan; ug adunay mga pipila ka mga nga nakuha matrices, nga susama sa lain-laing mga baryable. Aron sa pagkuha sa usa ka sistema sa solusyon, bahinon kita sa determinant sa resulta nga lamesa sa mga nag-unang determinant sa lamesa. Ang resulta nga gidaghanon mao ang bili sa usa ka baryable. Susama, atong makita ang tanan nga mga unknowns.

sa uban nga mga pamaagi sa

Adunay pipila ka mga pamaagi aron sa pag-angkon sa solusyon sa mga sistema sa mga linear pagbalanse. Pananglitan, ang usa ka gitawag nga Gauss-sa Jordan pamaagi, nga gigamit alang sa pagpangita og mga solusyon sa sistema sa mga quadratic mga pagbalanse, ug usab may kalabutan sa paggamit sa matrices. Adunay usab usa ka Jacobi pamaagi alang sa pagsulbad sa usa ka sistema sa linear algebraic pagbalanse. Siya dali mopahiangay sa tanan nga mga computer ug gigamit sa pagsumada sa.

komplikado nga mga kaso

Komplikado kasagaran mahitabo kon ang gidaghanon sa mga pagbalanse mao ang dili kaayo kay sa gidaghanon sa mga baryable. Dayon kita-ingon nga, o sistema sa mao sukwahi (ie, walay gamot), o sa gidaghanon sa mga desisyon niini kahilig sa infinity. Kon kita adunay ikaduha nga kaso - kini mao ang gikinahanglan nga sa pagsulat sa kinatibuk-ang solusyon sa sistema sa mga linear pagbalanse. Kini maglakip sa labing menos usa ka baryable.

konklusyon

Ania na kita sa katapusan. Sa pag-summarize: kita sa pagsabut kon unsa ang sistema sa taguangkan; nakakat-on sa pagpangita sa kinatibuk-ang solusyon sa usa ka sistema sa linear pagbalanse. Dugang pa kami giisip sa uban nga mga kapilian. Kita figured sa unsa nga paagi sa pagsulbad sa mga sistema sa linear pagbalanse: Gaussian elimination ug pagmando ni Cramer. Kita naghisgot bahin sa lisud nga mga kaso ug sa uban pang mga paagi sa pagpangita og mga solusyon.

Sa pagkatinuod, kini nga isyu mao ang daghan nga mas halapad, ug kon kamo gusto nga mas maayo nga makasabut niini, kita advise kaninyo sa pagbasa sa labaw pa sa espesyalista literatura.