Differentials - unsa man kini? Sa unsa nga paagi sa pagpangita sa differential sa function?

Uban sa mga naggumikan sa ilang mga gimbuhaton differentials - kini ang pipila sa mga nag-unang mga konsepto sa differential calculus, ang nag-unang seksyon sa matematika pagtuki. Ingon sa dili mabulag nga nagkadugtong, silang duha sa pipila ka mga siglo kaylap nga gigamit sa pagsulbad sa hapit tanan nga mga problema nga mibangon sa dagan sa siyensiya ug teknikal nga kalihokan.

Ang pagtunga sa sa konsepto sa differential

Kay sa unang higayon nga gihimo kini sa tin-aw nga ang maong usa ka differential, usa sa mga founders (uban sa Isaakom Nyutonom) differential calculus bantog nga German nga matematiko Gotfrid Vilgelm Leybnits. Sa wala pa nga matematiko ika-17 nga siglo. gigamit kaayo klaro ug klarong ideya sa pipila labihan "tibuok" sa bisan unsa nga nailhan function, nga nagrepresentar sa usa ka gamay nga kanunay nga bili apan dili managsama ngadto sa zero, sa ubos nga bili sa function dili mahimo nga sa yano. Busa kini mao ang usa lamang ka lakang ngadto sa pasiuna sa mga ideya sa labihan increments sa function mga argumento ug sa ilang tagsa-tagsa increments sa mga gimbuhaton nga mahimo nga gipahayag sa mga termino sa mga naggumikan sa ulahing. Ug kini nga lakang gikuha hapit dungan ang mga sa ibabaw sa duha ka dako nga mga siyentipiko.

Base sa panginahanglan sa pagtubag sa dinalian nga praktikal nga mga mekaniko mga problema nga atubangon sa siyensiya paspas pagpalambo sa industriya ug teknolohiya, Newton ug Leibniz nagbuhat sa komon nga mga paagi sa pagpangita sa mga gimbuhaton sa rate sa kausaban (ilabi na sa bahin sa mekanikal nga speed sa lawas sa nailhan trajectory), nga gipangulohan sa sa pasiuna sa maong konsepto, ingon nga ang mga sa gikopya nga function ug sa differential, ug usab ang nakakaplag sa mga algorithm balion problema solusyon nga nahibaloan kada se (baryable) katulinon ginaagihan sa pagpangita sa dalan nga gipangulohan sa konsepto sa integral Ala.

Sa mga buhat sa Leibniz ug Newton ni ideya una kini nagpakita nga ang mga differentials - mao ang nagkaigo sa increment sa nag-unang mga argumento Δh increments Δu gimbuhaton nga mahimong malampuson nga mi-apply sa kuwentahon ang bili sa ulahing. Sa laing mga pulong, ilang nadiskobrehan nga ang usa ka increment function mahimong sa bisan unsa nga punto (sa sulod sa iyang domain sa kahulugan) gipahayag pinaagi sa gikopya nga duha Δu = y '(x) Δh + αΔh diin α Δh - nahibilin, nag-atiman sa zero ingon Δh → 0, daghan nga mas paspas pa kay sa aktuwal nga Δh.

Sumala sa mga founders sa matematika pagtuki, ang mga differentials - kini mao gayud ang unang termino sa increments sa bisan unsa nga mga gimbuhaton. Bisan nga wala sa usa ka tin-aw nga gihubit utlanan konsepto han-ay sa mga nasabtan gihunahuna nga ang differential bili sa gikopya nga mga kahilig sa paglihok sa diha nga Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Dili sama sa Newton, nga sa panguna sa usa ka pisiko ug matematika aparato giisip ingon nga usa ka auxiliary nga himan alang sa pagtuon sa pisikal nga mga problema, Leibniz mibayad sa dugang nga pagtagad sa Toolkit niini, lakip na sa usa ka sistema sa biswal ug masabtan simbolo sa matematika nga mga prinsipyo. Kini mao siya nga gisugyot sa mga sumbanan nga nota sa differentials function dy = y '(x) DX, DX, ug ang pulong nga naggikan sa mga argumento function ingon nga ilang relasyon y' (x) = dy / DX.

Ang modernong kahulugan

Unsa ang differential sa mga termino sa modernong matematika? Kini mao ang pag-ayo nga may kalabutan sa konsepto sa usa ka baryable increment. Kon ang baryable y nagkinahanglan og usa ka una nga bili sa y y = _1, unya y = y _2, ang kalainan y ₂ ─ y ₁ gitawag ang increment bili y. increment mahimong positibo. negatibo ug zero. Ang pulong "increment" gitudlo Δ, Δu pagrekord (mabasa 'delta y') nagtumong sa bili sa increment y. busa Δu = y ₂ ─ y _1.

Kon ang bili Δu arbitraryong function y = f (x) mahimong gihulagway nga Δu = Usa ka Δh + α, diin usa ka walay pagsalig sa Δh, t. E. Usa ka = const alang sa gihatag nga x, ug ang termino α sa diha nga Δh → 0 kahilig sa kini mao ang bisan pa sa mas paspas pa kay sa aktuwal nga Δh, nan ang unang ( "agalon") usa ka termino timbang Δh, ug alang sa y = f (x) differential, nagtumong dy o DF (x) (mabasa "y de", "de eff gikan sa X"). Busa differentials - usa ka "nag-unang" linear uban sa pagtahod ngadto sa mga sangkap sa increments Δh gimbuhaton.

mekanikal nga katin-awan

Himoa ni = f (t) - ang gilay-on sa usa ka tul-id nga linya pagbalhin materyal nga punto gikan sa inisyal nga posisyon (t - pagbiyahe panahon). Dungag Δs - mao ang paagi nga punto sa panahon sa usa ka panahon sal Δt, ug ang differential DS = f '(t) Δt - niini nga dalan, nga punto nga gihimo alang sa sama nga panahon Δt, kon kini gihawiran ang speed f' (t), nakaabot sa panahon t . Sa diha nga ang usa ka labihan Δt DS hinanduraw dalan lahi gikan sa aktuwal nga Δs labihan nga may usa ka mas taas nga han-ay uban sa pagtahod ngadto sa Δt. Kon ang speed sa panahon t dili managsama ngadto sa zero, ang banabana nga bili DS naghatag gamay nga pagpihig punto.

geometric kahulogan

Himoa nga ang mga linya L mao ang graph sa y = f (x). Unya Δ x = MQ, Δu = QM '(tan-awa sa. Figure sa ubos). ARANGKADA MN mga higayon Δu putlon ngadto sa duha ka bahin, QN ug NM '. Una ug Δh mao ang nagkaigo QN = MQ ∙ GK (anggulo QMN) = Δh f '(x), t. E QN mao dy differential.

Ang ikaduhang bahin sa kalainan Δu NM'daet ─ dy, sa diha nga Δh → 0 NM gitas-on 'pagminus, mga pagmobu bisan mas paspas pa kay sa increment sa argumento, ie kini ang kapunongan sa kagamay mas taas pa kay sa Δh. Sa kini nga kaso, kon f '(x) ≠ 0 (non-parallel ARANGKADA vaca) bahin QM'i QN katumbas; sa lain nga mga pulong NM 'pagminus, mga pagmobu paspas (kapunongan sa pagkagamay sa iyang mas taas) kay sa kinatibuk-ang increment Δu = QM'. Kini mao ang makita sa Figure (nagsingabot nga bahin M'k M NM'sostavlyaet sa tanan mas gamay nga porsyento QM 'bahin).

Busa, tin-aw differential arbitraryong function mao nga sama sa sa dugang nga sa ordinate sa ARANGKADA.

Gikopya nga ug differential

Usa ka butang sa unang termino sa ekspresyon increment function mao nga sama sa sa bili sa iyang gikopya nga f '(x). Busa, ang mosunod nga relasyon - dy = f '(x) Δh o DF (x) = f' (x) Δh.

Kini nailhan nga ang dugang nga mga independente nga argumento mao nga sama sa iyang differential Δh = DX. Busa, kita pagsulat: f '(x) DX = dy.

Pagpangita (usahay miingon nga ang "desisyon") differentials ang gihimo pinaagi sa maong mga lagda alang sa mga naggumikan. Usa ka listahan sa mga kanila gihatag sa ubos.

Unsa ang mas universal: sa dugang nga mga argumento o sa iyang differential

Ania kini mao ang gikinahanglan aron sa paghimo sa pipila ka mga katin-awan. Representasyon bili f '(x) differential Δh posible nga sa diha nga naghunahuna sa x ingon nga usa ka argumento. Apan ang function mahimong usa ka komplikado, diin x mahimong usa ka function sa argumento t. Unya ang representasyon sa differential pagpahayag sa f '(x) Δh, ingon sa usa ka pagmando sa, kini dili mahimo; gawas sa kaso sa linear pagsalig x = sa + b.

Ingon sa pormula f '(x) DX = dy, unya sa kaso sa independente nga argumento x (unya DX = Δh) sa kaso sa mga parametric pagsalig sa x t, kini mao ang differential.

Kay sa panig-ingnan, ang ekspresyon nga 2 x Δh alang sa y = x ² sa iyang differential sa diha nga x mao ang usa ka argumento. Kita karon x = t ² ug maghunahuna t argumento. Unya y = x ² = t ^4.

Kini gisundan sa (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Busa Δh = 2tΔt + Δt ^2. Busa: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Kini nga ekspresyon dili nagkaigo sa Δt, ug busa mao karon ang 2xΔh dili differential. Kini makaplagan gikan sa talaid y = x ² = t ^4. Kini mao ang patas nga dy = 4t ³ Δt.

Kon kita sa pagkuha sa mga ekspresyon 2xdx, kini mao ang differential y = x ² alang sa bisan unsa nga argumento t. Sa pagkatinuod, sa diha nga x = t ² makabaton DX = 2tΔt.

Busa 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Ang ekspresyon differentials nga natala sa duha ka lain-laing mga baryable coincide.

Ilis sa increments differentials

Kon f '(x) ≠ 0, nan Δu ug dy katumbas (sa diha nga Δh → 0); kon f '(x) = 0 (kahulogan ug dy = 0), sila dili katumbas.

Pananglitan, kon y = x ^2, unya Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² ug dy = 2xΔh. Kon x = 3, nan kita adunay Δu = 6Δh + Δh ² ug dy = 6Δh nga katumbas tungod Δh ² → 0, sa diha nga x = 0 bili Δu = Δh ² ug dy = 0 dili katumbas.

Kini nga kamatuoran, uban sa yano nga gambalay sa differential (m. E. Linearity uban sa pagtahod ngadto sa Δh), sagad nga gigamit sa banabana pagtantiya, pagbanabana, sa pagtuo nga Δu ≈ dy alang sa gagmay nga Δh. Pangitaa ang differential function mao ang kasagaran mas sayon kay sa pagkalkulo sa eksaktong bili sa increment.

Kay sa panig-ingnan, kita adunay metallic cube sa sulab x = 10.00 cm. Sa pagpainit sa sulab gilugwayan sa Δh = 0,001 cm. Sa unsang paagi nga dugang nga gidaghanon cube V? Kita adunay V = x ^2, sa pagkaagi nga DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ Pebrero ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Dugang ΔV katumbas differential DV, sa pagkaagi nga ΔV = 3 cm ^3. Full kalkulasyon mohatag ³ ΔV = 10,01 ─ Marso ¹⁰ = 3.003001. Apan ang resulta sa tanan nga mga numero gawas sa una nga dili kasaligan; Busa, kini mao ang pa nga gikinahanglan sa palibot sa 3 cm ^3.

Tin-aw nga, kini nga paagi mao ang mapuslanon lamang kon kini mao ang posible nga sa pagbanabana sa bili nga gihatag sa kasaypanan.

Differential function: mga panig-ingnan

ni sa pagsulay sa pagpangita sa differential sa function y = x ^3, sa pagpangita sa gikopya nga Himoa. Atong ihatag ang argumento increment Δu ug nagpaila.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Dinhi, ang coefficient A = 3x ² wala magdepende sa Δh, sa pagkaagi nga ang unang termino mao ang nagkaigo Δh, ang uban nga mga sakop sa 3xΔh Δh ² + ³ sa diha nga Δh → 0 pagminus, mga pagmobu mas paspas pa kay sa increment sa argumento. Busa, usa ka sakop sa 3x ² Δh mao ang differential sa y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² DX o d (x ³⁾ = 3x ² DX.

Diin d (x ³⁾ / DX = 3x ^2.

Dy Kita karon sa pagpangita sa function y = 1 / x sa gikopya nga. Unya d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. Busa dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials nag-unang mga algebraic gimbuhaton nga gihatag sa ubos.

Banabana kalkulasyon sa paggamit sa differential

Sa pagtimbang-timbang sa function f (x), ug ang gikopya nga f '(x) sa x = usa ka mao ang kanunay nga lisud, apan sa pagbuhat sa sama nga diha sa palibot sa x = usa ka dili sayon. Unya moabut sa tabang sa gibanabanang ekspresyon

f (usa ka + Δh) ≈ f '(sa usa ka) Δh + f (sa usa ka).

Kini naghatag og usa ka banabana nga bili sa sa function sa gagmay nga mga increments pinaagi sa differential Δh f '(sa usa ka) Δh.

Busa, kini nga pormula naghatag sa usa ka banabana nga ekspresyon alang sa function sa katapusan nga punto sa usa ka bahin sa usa ka gitas-on Δh ingon sa usa ka igo nga gidaghanon sa bili niini sa punto sa pagsugod sa bahin (x = usa ka), ug ang differential sa samang punto sa pagsugod. Katukma sa pamaagi sa pagtino sa mga mithi sa function sa ubos naghulagway sa drowing.

Apan nailhan ug ang eksaktong ekspresyon alang sa bili sa function x = usa ka + Δh nga gihatag pinaagi sa pormula nga may kinutuban increments (o, Kapilian, ni Lagrange pormula)

f (usa ka + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (sa usa ka),

diin ang mga punto x = usa ka + ξ anaa sa sal gikan sa x = usa ka sa x = usa ka + Δh, bisan tuod ang eksaktong posisyon wala mahibaloi. Ang eksaktong pormula nagtugot sa pagtimbang-timbang sa kasaypanan sa mga gibanabanang pormula. Kon atong gibutang diha sa Lagrange pormula ξ = Δh / 2, bisan tuod kini mohunong nga mahimong tukma, apan nagahatag, ingon sa usa ka pagmando sa, sa usa ka daghan nga mas maayo nga paagi kay sa orihinal nga ekspresyon sa mga termino sa mga differential.

Evaluation pormula sayop pinaagi sa pagpadapat sa differential

Pagsukod sa mga instrumento , sa baruganan, dili tukma, ug dad-on ngadto sa mga data pagsukod katugbang sa sayop. Sila gihulagway pinaagi sa paglimit sa bug-os nga sayop, o, sa mubo, ang utlanan sayop - positibo, tin-aw nga sa hilabihan gayud sa sayop sa bug-os nga bili (o sa labing patas nga sa niini). Gilimitahan ang paryente sayop mao ang gitawag nga quotient nga nakuha pinaagi sa pagbahin niini pinaagi sa bug-os nga bili sa mga gisukod bili.

Himoa nga tukma nga pormula y = f (x) function nga gigamit sa vychislyaeniya y, apan ang bili sa x mao ang pagsukod resulta, ug busa nagdala sa y sayop. Dayon, sa pagpangita sa gilimitahan bug-os nga sayop │Δu│funktsii y, sa paggamit sa pormula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

diin │Δh│yavlyaetsya panaplin sayop argumento. │Δu│ gidaghanon kinahanglan rounded ngadto sa itaas, ingon sa dili tukma kalkulasyon sa iyang kaugalingon mao ang puli sa increment sa differential pagtantiya, pagbanabana.