Differential calculus sa gimbuhaton sa usa ug sa pipila baryable

Differential calculus mao ang usa ka sanga sa matematika analysis, nga nagasulay sa gikopya nga, differentials ug sa ilang paggamit sa pagtuon sa mga gimbuhaton.

Ang istorya sa

Differential calculus migawas nga usa ka independenteng disiplina sa ikaduha nga katunga sa sa ika-17 nga siglo, salamat sa buhat sa Newton ug sa Leibniz, nga formulated sa nag-unang mga probisyon sa pagtantiya, pagbanabana sa differentials ug nakamatikod sa koneksyon tali sa integration ug sa panagbahin. Sukad sa disiplina siya naugmad uban sa kalkulasyon sa mga integrals, sa ingon nga maoy basehan sa matematika pagtuki. Ang dagway sa niini nga mga Calculi abli ug usa ka bag-o nga modernong panahon sa matematika kalibutan ug hinungdan sa pagtunga sa mga bag-o nga disiplina sa siyensya. Usab gitunol sa posibilidad sa paggamit sa matematika sa natural nga siyensiya ug engineering.

nag-unang mga konsepto

Differential calculus gibase sa sukaranan nga mga konsepto sa matematika. Sila mao ang: ang usa ka tinuod nga gidaghanon, pagpadayon ug utlanan sa function. Human sa usa ka panahon, sila gikuha sa usa ka modernong-aw, pasalamat ngadto sa mahinungdanon nga ug differential calculus.

Ang proseso sa pagmugna

Formation sa differential calculus sa dagway sa usa ka aplikasyon, ug unya ang siyentipikanhong pamaagi nahitabo sa wala pa ang pagtunga sa pilosopiya nga teoriya, nga gilalang sa Nikolay Kuzansky. Iyang buhat giisip nga usa ka ebolusyon kalamboan gikan sa karaang siyensiya sa paghukom. Bisan pa sa kamatuoran nga ang pilosopo nga sa iyang kaugalingon mao ang dili usa ka matematiko, sa iyang kontribusyon sa pagpalambo sa siyensiya sa matematika mao ang dili ikalimod. Cusa, usa sa unang mga gikan sa konsiderasyon sa aritmetik ingon nga ang labing tukma nga siyensiya, matematika sa pagbutang sa panahon ngadto sa pangutana.

Sa karaang matematiko universal sukdanan mao ang usa ka yunit, samtang ang pilosopo nga gisugyot ingon nga usa ka bag-o nga sukod infinity mobalik sa eksaktong gidaghanon. Sa kaangtanan sa niini nga baliktad nga larawan sa tukma sa matematika siyensiya. Siyentipikanhong kahibalo, sa iyang panglantaw, gibahin ngadto sa pangatarungan ug intelihente nga. Ang ikaduha mao ang mas tukma, sumala sa siyentista, sukad sa kanhi naghatag lamang banabana resulta.

ideya

Ang nag-unang mga ideya ug sa konsepto sa differential calculus nakig-uban sa function sa usa ka gamay nga kasilinganan sa pipila ka mga punto. Kay kini nga kini mao ang gikinahanglan nga sa paghimo sa usa ka matematikal nga aparato sa paglihok mga pagtuon kansang kinaiya sa usa ka gamay nga kasilinganan sa mga puntos instalar duol sa kinaiya sa usa ka linear function o sa usa ka polynomial. Base sa niini nga kahulogan sa gikopya nga ug differential.

Ang pagtunga sa mga konsepto sa gikopya nga hinungdan sa usa ka dako nga gidaghanon sa mga problema sa mga natural nga siyensiya ug matematika, nga nagpaingon ngadto sa determinasyon sa utlanan nga mga hiyas sa sa mao gihapon nga matang.

Usa sa mga nag-unang mga buluhaton nga gihatag ingon nga usa ka panig-ingnan, sugod sa mga labing karaan nga mga klase sa eskwelahan, mao sa pagtino sa gikusgon sa motion sa usa ka punto sa usa ka tul-id nga linya ug sa pagtukod sa ARANGKADA linya sa kurba niini. differential Ang nalambigit sa niini, kay kini mao ang posible nga sa pagbanabana sa function sa usa ka gamay nga kasilinganan sa punto sa usa ka linear function.

Kon itandi sa konsepto sa pulong nga naggikan sa usa ka function sa usa ka tinuod nga baryable, ang kahulugan sa differentials moagi lamang sa function sa kinatibuk nga kinaiya, sa partikular nga sa dagway sa usa ka Euclidean nga luna ngadto sa lain.

gikopya nga

Himoa nga ang mga punto nagalihok sa direksyon sa y-axis, kay ang panahon nga kita x, nga gisukod gikan sa sinugdanan sa usa ka higayon. Ihulagway sa maong usa ka kalihukan posible pinaagi sa function y = f (x), nga nalangkit sa matag higayon nga punto x coordinate displaceable punto. Kini nga function tawag sa mechanics sa pagkuha sa balaod sa motion. Ang nag-unang kinaiya sa motion, ilabi uneven, mao ang dayon tulin, kabad. Sa diha nga ang punto mao ang mibalhin sa daplin sa y-axis sumala sa balaod sa mga mekaniko, ang random panahon punto nga kini acquires coordinate x f (x). Sa panahon nga punto x + Δh, diin Δh nagrepresentar sa dugang nga panahon, kini kordinaty f (x + Δh). Mao kini ang nag-umol pormula Δy = f (x + Δh) - f (x), nga mao ang gitawag nga usa ka increment function. Kini mao ang usa ka punto sa dalan ginaagihan sa panahon sa panahon gikan sa x sa x + Δh.

Sa koneksyon uban sa mga panghitabo sa mga tulin, kabad sa panahon sa gikopya nga ang ipangalagad. Ang pulong nga naggikan sa bisan unsa nga function sa usa ka natudlong punto nga gitawag sa mga utlanan (sa paghunahuna nga kini anaa). Kini mahimong nagtumong sa pipila ka mga karakter:

f '(x), y', y, DF / DX, dy / DX, DF (x).

Ang proseso sa pagkalkulo sa naggikan sa tawag sa panagbahin.

Differential calculus sa gimbuhaton sa pipila ka mga baryable

Kini nga pamaagi mao ang mi-apply sa diha nga pagkalkulo function sa pagtuon, sa pipila ka mga baryable. Sa diha nga adunay duha ka baryable x ug y, ang partial sa gikopya nga uban sa pagtahod ngadto sa x sa punto A mao ang gitawag nga naggikan sa niini nga function sa x uban sa usa ka natudlong y.

Hinaot nga gipakita sa mosunod nga mga simbolo:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x ug ∂f (x, y) '/ ∂x.

gikinahanglan kahanas

Aron sa malampuson nga makat-on ug makahimo sa pagsulbad sa diffury gikinahanglan nga mga kahanas sa integration ug panagbahin. Aron sa paghimo niini nga mas sayon nga masabtan ang differential mga pagbalanse, kinahanglan nga masabtan nga hilisgutan sa gikopya nga ug walay tino integral. Usab dili-among-among sa pagkat-on sa pagtan-aw alang sa nga naggikan sa mga bug-os nga function. Kini mao ang tungod sa kamatuoran nga diha sa proseso sa pagkat-on sagad gamiton integrals ug panagbahin.

Matang sa differential pagbalanse

Halos ang tanan nga mga kontrol sa buhat nga nakig-uban sa mga unang-order differential mga pagbalanse, adunay 3 ka mga matang sa mga pagbalanse: pare-pareho, uban sa separable baryable, linear inhomogeneous.

Adunay mas talagsaong sakop sa henero nga pagbalanse sa total differentials, ni Bernoulli talaid, ug ang uban usab.

PATRIARKA solusyon

Sa pagsugod, kinahanglan atong hinumduman ang algebra talaid sa usa ka kurso sa eskwelahan. sila naglangkob sa mga baryable ug mga numero. Aron sa pagsulbad sa conventional talaid kinahanglan makakaplag daghang sa mga numero nga makatagbaw sa usa ka espesipikong kahimtang. Kasagaran, kini nga mga pagbalanse adunay usa ka gamut, ug alang sa validation kinahanglan lamang ipuli niini nga bili ngadto sa dapit nga wala mailhi.

Ang differential talaid mao ang susama niini. Sa kinatibuk-an, usa ka equation sa unang order gilangkoban sa:

• Independent baryable.
• Usa ka pulong nga naggikan sa unang function.
• Function o nagsalig baryable.

Sa pipila ka mga kaso, may walay usa nga wala mailhi, x o y, apan kini mao ang dili ingon ka importante ingon nga kini mao ang gikinahanglan nga makabaton sa una nga sa gikopya nga, nga walay mas taas nga han-ay naggumikan sa solusyon ug sa differential calculus tinuod.

Pagsulbad sa differential talaid - nagpasabot kini sa pagpangita sa hugpong sa tanan nga mga gimbuhaton nga angay gihatag ekspresyon. Ang maong hugpong sa mga gimbuhaton mao ang sagad nga gitawag nga sa kinatibuk-ang solusyon sa kontrol.

integral calculus

Integral calculus mao ang usa sa mga seksyon sa matematika analysis, nga nagasulay sa konsepto sa integral, kabtangan ug mga pamaagi sa iyang pagtantiya, pagbanabana.

Kasagaran ang kalkulasyon sa integral nga mahitabo sa diha nga ang pagkuwenta sa dapit sa usa ka curvilinear porma. Pinaagi niini nagpasabot sa usa ka utlanan nga dapit, ngadto sa nga sa usa ka gitino nang daan nga dapit sa mga nasulat dagíway porma sa usa ka anam-anam nga pagsaka sa iyang kamot, ug ang mga data nga bahin mahimo nga ubos pa kay sa bisan unsa nga kaniadto bungat arbitraryong gamay nga bili.

Ang nag-unang ideya sa pagtantiya, pagbanabana sa dapit sa bisan unsa nga geometric porma ang pagkalkulo sa dapit sa usa ka rectangle, nan adunay ebidensiya nga ang iyang dapit mao nga sama sa sa produkto sa gitas-on sa gilapdon. Sa diha nga kini moabut ngadto sa geometriya, unya ang tanan nga mga konstruksiyon gihimo gamit ang usa ka pangulo ug kompas, ug dayon ang ratio sa gitas-on sa gilapdon mao ang usa ka sa pangatarungan nga bili. Sa diha nga ang pagkuwenta sa dapit sa usa ka matarung nga triangle mahimong determinado nga kon mo ang usa ka sunod nga triyanggulo, ang usa ka rectangle nga nag-umol. Sa dapit sa mga ambasbúyon gituyo sa usa ka susama nga apan gamay nga mas komplikado nga paagi, sulod sa usa ka rectangle ug usa ka triyanggulo. Sa dapit sa usa ka dagíway giisip sa triangles naglakip niini.

Sa pagtino sa kalooy sa arbitraryong, kini nga pamaagi dili mohaom sa kurba. Kon paglapas kita niini ngadto sa tagsa-tagsa nga plasa, kini magpabilin kini ikatagana nga mga dapit. Sa kini nga kaso, sa pagsulay sa paggamit sa duha ka mga sinina, uban sa rektanggulo sa ibabaw ug sa ubos, ingon sa usa ka resulta sa mga naglakip sa graph sa function ug sa wala maglakip sa. Importante dinhi mao ang usa ka paagi aron sa pagguba niini nga mga rektanggulo. Usab, kon kita sa break mas ug mas pagkunhod, sa dapit sa ibabaw ug sa ubos kinahanglan nga magtipon sa usa ka bili.

Kini kinahanglan mobalik ngadto sa usa ka pamaagi alang sa pagbulag sa rektanggulo. Adunay duha ka popular nga mga pamaagi.

Riemann pormal nga kahulugan sa integral, gibuhat sa Leibniz ug Newton, ingon nga ang dapit sa subgraph. Sa kini nga kaso, giisip kami nga usa ka numero nga naglangkob sa usa ka gidaghanon sa mga bertikal rektanggulo nga nakuha pinaagi sa pagbahin sa sal. Sa diha nga ang paglapas sa usa ka pagkunhod adunay usa ka utlanan nga ang pagkunhod sa dapit sa maong usa ka numero, utlanan niini nga mao ang gitawag nga Riemann integral sa usa ka function sa usa ka bungat sal.

Ang ikaduhang pamaagi mao ang sa pagtukod sa Lebesgue integral, nga naglangkob sa kamatuoran nga sa dapit sa pagkabinulag gitudlo nga dapit sa usa ka bahin sa integrand ug paghipos unya ang integral nga igo nga gidaghanon sa mga mithi nga nakuha sa mga bahin, sa mga lat-ang gibahin sa iyang laing mga mithi, ug unya nalangkob sa katugbang nga mga lakang balion mga larawan niini nga mga integrals.

modernong mga tabang

Usa sa mga nag-unang mga benepisyo alang sa pagtuon sa differential ug integral nga calculus Fikhtengol'ts misulat - "sa differential ug integral calculus." Ang iyang libro mao ang usa ka sukaranan nga himan alang sa pagtuon sa matematika analysis, nga misukol sa daghan nga mga edisyon ug mga hubad sa ubang mga pinulongan. Gihimo alang sa mga estudyante ug sa usa ka hataas nga panahon nga gigamit sa usa ka matang sa edukasyon nga mga institusyon sama sa usa sa mga nag-unang mga benepisyo sa pagtuon. Kini naghatag theoretical impormasyon ug praktikal nga mga kahanas. Unang gimantala sa 1948.

Algorithm research function

Aron sa pagsusi sa mga pamaagi sa differential calculus function, nga kamo kinahanglan nga sundon na gihatag algorithm:

1. Pangitaa ang domain sa function.
2. Pangitaa ang mga gamot sa gihatag nga talaid.
3. Kuwentahon ang mga extremes. Sa pagbuhat niini, kuwentahon kita sa gikopya nga ug sa punto diin kini mao ang katumbas sa zero.
4. Kita ipuli sa bili nga nakuha sa Eq.

Matang sa differential pagbalanse

Control sa unang order (kon dili, differential calculus sa usa ka baryable) ug sa ilang mga matang:

• Uban sa separable baryable talaid: f (y) dy = g (x) DX.
• Ang simplest talaid o differential calculus function sa usa ka baryable, nga may pormula: y '= f (x).
• Ang linear unang-order nonuniform pagpugong sa: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differential talaid: y '+ P (x) y = Q (x) y sa usa ka.
• Talaid total differentials sa: P (x, y) DX + Q (x, y) dy = 0.

Ang differential pagbalanse sa ikaduhang laray, ug sa ilang mga matang:

• Pare-pareho linear ikaduhang laray differential talaid sa kanunay ^{coefficients: y n + py '+ qy} = 0 p, q iya R.
• Inhomogeneous linear ikaduhang laray differential talaid sa kanunay coefficients ^{bili: y n + py '+ qy} = f (x).
• Pare-pareho linear differential ^{talaid: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, ug inhomogeneous ikaduhang laray ^{talaid: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differential pagbalanse sa mas taas nga mga sugo ug sa ilang mga matang:

• Ang differential talaid, pagtugot sa pagkunhod sa ^{order: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Usa ka linear talaid sa mas taas nga han-ay ^{_{pare-pareho: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, ug ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Hugna sa pagsulbad sa problema sa differential talaid

Uban sa tabang sa hilit nga kontrol nasulbad dili lamang sa matematika o pisikal nga mga problema, apan usab sa nagkalain-laing mga problema sa biology, ekonomiya, sosyolohiya ug sa uban. Bisan pa sa halapad nga matang sa mga hilisgutan, kinahanglan nga mosunod sa usa ka single nga han-ay katarungan alang sa pagsulbad sa mga problema:

1. Drawing sa kontrol. Usa sa labing lisod nga yugto, nga nagkinahanglan maximum tukma, tungod kay sa bisan unsa nga sayop modala sa bug-os nga sayop resulta. Kini mao ang gikinahanglan sa pagkuha sa ngadto sa asoy sa tanan nga mga butang nga naka-apekto sa proseso ug sa pagtino inisyal nga mga kahimtang. Kini kinahanglan usab nga base sa kamatuoran ug makataronganon mga konklusyon.
2. Kay pagsulbad sa pagbalanse. Kini nga proseso mao ang mas sayon sa unang punto, kay kini nagkinahanglan lamang sa higpit nga pagpatuman sa matematika kalkulasyon.
3. Pagtuki ug evaluation sa mga resulta. Nakuha solusyon kinahanglan nga assess alang sa instalasyon sa praktikal ug teoretikal bili sa resulta.

Usa ka panig-ingnan sa paggamit sa differential pagbalanse sa medisina

Pinaagi sa paggamit sa hilit nga kontrol sa kapatagan sa medisina makita diha sa pagtukod sa epidemiological sa matematika nga modelo. Kita kinahanglan nga dili kalimtan nga kini nga mga pagbalanse makaplagan usab sa Biology ug chemistry, nga mao ang mga duol sa tambal, tungod kay kini pasundayag usa ka importante nga papel sa pagtuon sa lain-laing mga biological nga populasyon ug kemikal nga mga proseso diha sa lawas sa tawo.

Sa panig-ingnan niini, ang epidemya pagkaylap sa impeksyon mahimong pagtratar sa usa ka hilit nga komunidad. Ang mga molupyo gibahin ngadto sa tulo ka mga matang:

• Natakdan, ang gidaghanon sa mga x (t), nga naglakip sa mga tawo, makatakod nga carriers, sa matag usa sa nga mao ang makatakod nga (paglumlum panahon mao ang mubo).
• Ang ikaduha nga matang naglakip sa delikado nga mga indibiduwal y (t), mahimong natakdan sa kontak uban sa mga nataptan.
• Ang ikatulo nga matang naglakip sa nagmasukihon mga indibiduwal z (t), nga ang mga immune o nawala tungod sa sakit.

Gidaghanon sa mga indibidwal sa kanunay, sa pagtuman sa pagkatawo, natural nga kamatayon ug paglalin dili giisip. Sa kinauyokan mahimong duha ka pangagpas.

Porsyento sakit sa pipila ka mga panahon nga punto mao nga sama sa x (t) y (t) (base pangagpas sa teoriya nga ang gidaghanon sa mga kaso sa sumala sa gidaghanon sa mga intersections sa taliwala sa mga pasyente ug responsive nga mga miyembro, nga sa unang gibanabana mao ang nagkaigo sa x (t) y (t)), sa Busa ang gidaghanon sa mga kaso mao ang pagdugang, ug ang gidaghanon sa mga delikado pagkunhod sa usa ka rate nga kalkulado sa pormula wasay (t) y (t) (sa usa ka> 0).

Gidaghanon sa mga non-responders mga mananap nga namatay o naangkon resistensya, misaka sa usa ka rate nga mao ang nagkaigo sa gidaghanon sa mga kaso, BX (t) (b> 0).

Ingon sa usa ka resulta, nga imong mahimo sa usa ka sistema sa mga pagbalanse sa tanan nga ang tulo ka mga indicators sa basehan sa iyang mga konklusyon.

PANIG-INGNAN paggamit economics

Differential calculus sagad gigamit sa ekonomiya pagtuki. Ang nag-unang tahas sa ekonomiya pagtuki giisip nga ang pagtuon sa mga mithi sa ekonomiya, nga natala diha sa porma sa mga function. Kini gigamit sa pagsulbad sa mga problema sama sa mga kausaban sa pagtaas sa kinitaan sa buhis diha-diha dayon human sa, sa pagsulod fees, pagbag-o sa kinitaan sa diha nga ang-usab sa bili sa mga produkto, sa unsa nga gidaghanon mahimong gipulihan sa retiradong empleyado sa bag-ong mga ekipo. Aron pagsulbad sa maong mga problema, kini gikinahanglan aron sa pagtukod sa usa ka komunikasyon function sa umaabot nga baryable, nga, human gitun-an sa mga differential calculus.

kini mao ang kanunay nga gikinahanglan aron sa pagpangita sa labing kamalaumon nga performance sa ekonomiya natad: maximum produksyon, ang labing taas nga kita, labing menos gasto ug sa ingon sa. Ang matag maong component mao ang usa ka function sa usa o labaw pa nga mga argumento. Kay sa panig-ingnan, sa produksyon mahimong giisip nga sama sa usa ka function sa labor ug kapital. Sa niini nga koneksyon, sa pagpangita sa usa ka angay nga bili mahimong mikunhod ngadto sa pagpangita sa maximum o minimum sa usa ka function sa usa o labaw pa baryable.

Ang maong mga problema paghimo sa usa ka klase sa mga extremal problema sa ekonomiya uma, nga kamo kinahanglan nga differential calculus. Sa diha nga ang ekonomiya timailhan gikinahanglan nga mamenosan o maximize ingon sa usa ka function sa ubang mga lantugi, ang increment ratio maximum punto function ngadto sa mga argumento nga tambong sa zero kon ang increment sa argumento mga kahilig sa zero. Kay kon dili, sa diha nga ang maong tinamdan mga kahilig sa usa ka positibo o negatibo nga bili, ang bungat punto mao nga dili angay, tungod kay pinaagi sa pagdugang o pagkunhod sa argumento mahimong mausab nagsalig bili sa sa gitinguha nga direksyon. Sa differential calculus nga terminolohiya, kini nagpasabot nga ang mga gikinahanglan nga kondisyon alang sa maximum function mao ang usa ka zero bili sa iyang gikopya.

Ang ekonomiya dili Sagad problema sa pagpangita sa extremum sa usa ka function sa pipila baryable, tungod kay ang ekonomiya indicators gihimo sa daghan nga mga butang. Ang maong mga isyu sa mga maayo ang nasabtan sa teoriya sa gimbuhaton sa pipila baryable, ang pamaagi sa pagkuwenta sa differential. Ang maong mga problema naglakip dili lamang sa nakapaayo ug mapaubsan function, apan usab sa mga limitasyon. Kini nga mga pangutana may kalabutan sa matematika programming, ug sila masulbad uban sa tabang sa labi naugmad mga pamaagi gibase usab sa niini nga sanga sa siyensiya.

Lakip sa mga pamaagi sa differential calculus nga gigamit sa ekonomiya, ang usa ka importante nga seksyon mao ang katapusang pagsulay. Sa ekonomiya dapit, ang termino nagtumong sa usa ka hugpong sa mga pamaagi sa research sa baryable performance ug resulta sa diha nga sa pag-usab kaninyo sa gidaghanon sa paglalang, konsumo, base sa usa ka pagtuki sa ilang mga prinsipyo utlanan. Gilimitahan timailhan giisip sa gikopya nga o sa partial naggumikan uban sa pipila ka baryable.

Differential calculus sa pipila baryable - usa ka importante nga hilisgutan sa matematika pagtuki. Kay sa usa ka detalyado nga pagtuon, nga imong mahimo sa paggamit sa usa ka lainlaing matang sa mga tabang sa pagtudlo alang sa mas taas nga mga institusyon sa edukasyon. Usa sa labing bantog nga gibuhat sa Fikhtengol'ts - "sa differential ug integral calculus." Kon sa unsang paagi sa daghan nga mga ngalan alang sa solusyon sa differential pagbalanse sa dakong kamahinungdanon nga ang mga kahanas sa pagtrabaho uban sa integrals. Sa diha nga adunay usa ka differential calculus sa gimbuhaton sa usa ka baryable, ang desisyon mahimong mas sayon. Bisan tuod, kini kinahanglan nga nakita, kini mosunod sa sama nga nag-unang mga lagda. Sa praktis, sa pag-imbestigar sa mga function sa differential calculus, mosunod lang sa naglungtad na nga algorithm, nga gihatag sa high school, ug sa lamang sa usa ka gamay nga komplikado sa sa pasiuna sa bag-ong mga baryable.